L'essentiel en une page
| Suite | Relation | Terme général |
|---|---|---|
| Arithmétique | \(u_{n+1} = u_n + r\) | \(u_n = u_0 + nr\) |
| Géométrique | \(u_{n+1} = q\,u_n\) | \(u_n = u_0\,q^n\) |
Terme à partir d'un rang \(p\) : \(u_n = u_p + (n-p)r\) et \(u_n = u_p\,q^{\,n-p}\).
| Somme | Formule |
|---|---|
| Arithmétique | \(S = \dfrac{(\text{nb de termes})\times(\text{premier} + \text{dernier})}{2}\) |
| Géométrique (\(q \ne 1\)) | \(S = u_0\,\dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}\) |
Monotonie : on étudie le signe de \(u_{n+1} - u_n\), ou — pour une suite à termes positifs — on compare \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\).
Suite auxiliaire : pour \(u_{n+1} = au_n + b\), on pose \(v_n = u_n - \ell\) où \(\ell\) est la solution de \(\ell = a\ell + b\) ; alors \((v_n)\) est géométrique de raison \(a\).
Ce que je dois savoir faire
- Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique.
- Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) et calculer une somme.
- Étudier la monotonie d'une suite.
- Utiliser une suite auxiliaire pour une récurrence affine.
- Modéliser une situation (placement, croissance).
Les pièges à éviter
- Le nombre de termes de \(u_0\) à \(u_n\) est \(n+1\), pas \(n\).
- Pour une suite géométrique, la raison est un quotient, pas une différence.
- \(u_n = u_0 + nr\) : attention au rang de départ si la suite commence à \(u_1\).
- La formule de la somme géométrique n'est pas valable pour \(q = 1\).
Testez-vous en 3 minutes
\(u_n\) pour \(u_0 = 4\) et \(r = -2\) ? \(v_n\) pour \(v_0 = 5\) et \(q = 3\) ? Somme des \(11\) premiers termes de \(u_n = 2n\) ? Nature de \(u_{n+1} = u_n + 7\) ?
Réponses
\(4 - 2n\) ; \(5\times3^n\) ; \(\dfrac{11\times(0+20)}{2} = 110\) ; arithmétique de raison \(7\).