1. Fonction majorée, minorée, bornée
\(f\) est majorée par \(M\) sur \(I\) si \(f(x)\le M\) pour tout \(x\in I\) ; minorée par \(m\) si \(f(x)\ge m\) ; bornée si elle est les deux.
Si \(f(x)\le f(a)\) pour tout \(x\in I\), \(f(a)\) est la valeur maximale de \(f\) sur \(I\).
2. Parité et symétries
- \(f\) paire : \((C_f)\) symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- \(f\) impaire : \((C_f)\) symétrique par rapport à l'origine.
- Axe \(x = a\) : \(f(2a - x) = f(x)\). Centre \(\Omega(a ; b)\) : \(f(2a - x) + f(x) = 2b\).
3. Variations et composée
\[T = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\]
Si \(f\) et \(g\) ont le même sens de variation, \(g\circ f\) est croissante ; sinon elle est décroissante.
4. Comparaison
\(f\le g\) sur \(I\) signifie que \((C_f)\) est en dessous de \((C_g)\). Pour comparer, on étudie le signe de \(f(x) - g(x)\).
5. Périodicité
\(f\) est \(T\)-périodique si \(f(x + T) = f(x)\). Il suffit d'étudier \(f\) sur un intervalle de longueur \(T\).
6. Courbes usuelles
- \(f(x) = ax^2 + bx + c\) : parabole de sommet \(S\left(-\frac{b}{2a} ; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\).
- \(f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}\) : hyperbole de centre \(\Omega\left(-\frac{d}{c} ; \frac{a}{c}\right)\).
- \(f(x) = \sqrt{x - a}\) : demi-parabole d'origine \((a ; 0)\).
- \(f(x) = ax^3\) : courbe symétrique par rapport à l'origine.
Exemple
\(f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} = 2 - \frac{3}{x + 1}\) : hyperbole de centre \(\Omega(-1 ; 2)\), \(f\) croissante sur chaque intervalle de \(D_f\).