Exercice 1
Montrer que \(f(x) = \frac{4}{x^2 + 2}\) est bornée sur \(\mathbb{R}\) et préciser sa valeur maximale.
Correction
\(x^2 + 2\ge2\) donc \(0 < f(x)\le2\). Valeur maximale \(f(0) = 2\).
Exercice 2
Soit \(f(x) = x^2 + 2x - 3\). Montrer que la droite \(x = -1\) est un axe de symétrie de \((C_f)\).
Correction
\(f(-2 - x) = (x + 2)^2 - 2(x + 2) - 3 = x^2 + 2x - 3 = f(x)\).
Exercice 3
Étudier les variations de \(g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\) sur \([0 ; +\infty[\) en l'écrivant comme une composée.
Correction
\(g = v\circ u\) avec \(u(x) = x^2 + 1\) croissante sur \([0 ; +\infty[\) et \(v(t) = \frac1t\) décroissante sur \(]0 ; +\infty[\) : \(g\) est décroissante sur \([0 ; +\infty[\).
Exercice 4
Comparer \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = x\) sur \([0 ; +\infty[\).
Correction
\(f(x) - g(x) = x(x - 1)\) : \(f\le g\) sur \([0 ; 1]\) et \(f\ge g\) sur \([1 ; +\infty[\).
Exercice 5
Déterminer la période de \(f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)\).
Correction
\(f(x + \pi) = \sin(2x + 2\pi + \frac{\pi}{3}) = f(x)\) : période \(\pi\).