Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (10 pts)
Soit \(f(x) = \frac{x + 3}{x - 1}\).
- Déterminer \(D_f\) et écrire \(f(x) = a + \frac{b}{x - 1}\). (3 pts)
- Préciser la nature et les éléments de symétrie de \((C_f)\). (2 pts)
- Étudier les variations de \(f\). (2 pts)
- Résoudre \(f(x)\ge3\). (3 pts)
Correction
- \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{1\}\). \(f(x) = 1 + \frac{4}{x - 1}\).
- Hyperbole de centre \(\Omega(1 ; 1)\), asymptotes \(x = 1\) et \(y = 1\).
- \(4 > 0\) : décroissante sur \(]-\infty ; 1[\) et sur \(]1 ; +\infty[\).
- \(\frac{4}{x - 1}\ge2\Leftrightarrow\frac{4 - 2(x - 1)}{x - 1}\ge0\Leftrightarrow\frac{6 - 2x}{x - 1}\ge0\) : \(S = ]1 ; 3]\).
Exercice 2 (10 pts)
Soit \(g(x) = -x^2 + 4x - 1\).
- Écrire \(g(x)\) sous forme canonique. (2 pts)
- Donner le tableau de variation de \(g\) et sa valeur maximale. (3 pts)
- Montrer que \(g\) est majorée sur \(\mathbb{R}\) et minorée sur \([0 ; 4]\). (2 pts)
- Soit \(h(x) = \sqrt{g(x)}\). Déterminer \(D_h\) et les variations de \(h\). (3 pts)
Correction
- \(g(x) = -(x - 2)^2 + 3\).
- Croissante sur \(]-\infty ; 2]\), décroissante sur \([2 ; +\infty[\), maximum \(3\).
- \(g\le3\) sur \(\mathbb{R}\). Sur \([0 ; 4]\) : \((x - 2)^2\le4\), donc \(g(x)\ge-1\).
- \(g(x)\ge0\Leftrightarrow(x - 2)^2\le3\) : \(D_h = [2 - \sqrt3 ; 2 + \sqrt3]\). \(h\) a les variations de \(g\) : croissante sur \([2 - \sqrt3 ; 2]\), décroissante sur \([2 ; 2 + \sqrt3]\).