Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (12 pts)
Soit \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = \frac13u_n + 2\).
- Calculer \(u_1\) et \(u_2\). (2 pts)
- Montrer par récurrence que \(u_n < 3\) pour tout \(n\). (3 pts)
- Montrer que \((u_n)\) est croissante. (2 pts)
- On pose \(v_n = u_n - 3\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique et exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\). (5 pts)
Correction
- \(u_1 = \frac83\), \(u_2 = \frac89 + 2 = \frac{26}{9}\).
- \(u_0 = 2 < 3\). Si \(u_n < 3\) : \(u_{n+1} < 1 + 2 = 3\).
- \(u_{n+1} - u_n = 2 - \frac23u_n = \frac23(3 - u_n) > 0\).
- \(v_{n+1} = \frac13u_n - 1 = \frac13v_n\), \(v_0 = -1\) : \(u_n = 3 - \left(\frac13\right)^n\).
Exercice 2 (8 pts)
Un employé commence avec un salaire de \(6000\) DH par mois. On propose deux contrats : (A) augmentation de \(200\) DH par an ; (B) augmentation de \(3\) % par an.
- Exprimer le salaire mensuel \(a_n\) et \(b_n\) après \(n\) années. (3 pts)
- Calculer \(a_{10}\) et \(b_{10}\) (arrondir à l'unité). (2 pts)
- Quel contrat est le plus avantageux après 10 ans ? (3 pts)
Correction
- \(a_n = 6000 + 200n\) (arithmétique), \(b_n = 6000\times1{,}03^n\) (géométrique).
- \(a_{10} = 8000\) ; \(b_{10}\approx6000\times1{,}3439 \approx 8063\).
- Au bout de 10 ans, le contrat B donne un salaire légèrement supérieur (environ \(8063\) contre \(8000\) DH).