1. Barycentre de deux points
Si \(\alpha + \beta\neq0\), le barycentre \(G\) des points pondérés \((A, \alpha)\) et \((B, \beta)\) est l'unique point tel que \(\alpha\vec{GA} + \beta\vec{GB} = \vec{0}\).
\[\vec{AG} = \frac{\beta}{\alpha + \beta}\vec{AB}\]
- On ne change pas \(G\) en multipliant les poids par un même réel non nul.
- Si \(\alpha = \beta\), \(G\) est le milieu de \([AB]\).
- Si \(\alpha\) et \(\beta\) sont de même signe, \(G\in[AB]\).
2. Barycentre de trois points
Si \(\alpha + \beta + \gamma\neq0\), le barycentre \(G\) de \((A, \alpha)\), \((B, \beta)\), \((C, \gamma)\) vérifie :
\[\vec{AG} = \frac{\beta}{\alpha + \beta + \gamma}\vec{AB} + \frac{\gamma}{\alpha + \beta + \gamma}\vec{AC}\]
- Pour tout point \(M\) : \(\alpha\vec{MA} + \beta\vec{MB} + \gamma\vec{MC} = (\alpha + \beta + \gamma)\vec{MG}\).
- Associativité : on peut remplacer deux points par leur barycentre affecté de la somme de leurs poids.
- L'isobarycentre de \(A\), \(B\), \(C\) est le centre de gravité du triangle.
3. Coordonnées du barycentre
\[x_G = \frac{\alpha x_A + \beta x_B + \gamma x_C}{\alpha + \beta + \gamma} \qquad y_G = \frac{\alpha y_A + \beta y_B + \gamma y_C}{\alpha + \beta + \gamma}\]
4. Utilisations
- Montrer que des points sont alignés ou que des droites sont concourantes.
- Déterminer des ensembles de points \(M\) : par exemple \(\|\alpha\vec{MA} + \beta\vec{MB}\| = k\) est un cercle de centre \(G\).
Exemple
\(G\) barycentre de \((A, 1)\) et \((B, 2)\) : \(\vec{AG} = \frac23\vec{AB}\), donc \(G\) est au deux tiers de \([AB]\) en partant de \(A\).