1. Définitions
\[\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos(\vec{u}, \vec{v}) \qquad \vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy' \text{ (repère orthonormé)}\]
\(\vec{u}\perp\vec{v}\Leftrightarrow\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\). Norme : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
2. Relations dans le triangle
- Al-Kashi : \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB\cdot AC\cos\widehat{A}\).
- Médiane : \(AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \frac{BC^2}{2}\) (\(I\) milieu de \([BC]\)).
- Aire : \(S = \frac12AB\cdot AC\sin\widehat{A}\).
3. Droites
- \(\vec{n}(a ; b)\) normal à \((D)\) \(\Leftrightarrow\) \((D) : ax + by + c = 0\).
- Distance : \(d(A, (D)) = \frac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\).
- \((D)\perp(D')\Leftrightarrow\vec{n}\cdot\vec{n'} = 0\).
4. Cercle
Équation du cercle de centre \(\Omega(a ; b)\) et de rayon \(r\) : \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\).
- Le cercle de diamètre \([AB]\) est l'ensemble des \(M\) tels que \(\vec{MA}\cdot\vec{MB} = 0\).
- \(x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0\) est un cercle si \(a^2 + b^2 - c > 0\), de rayon \(\sqrt{a^2 + b^2 - c}\).
- Une droite est tangente au cercle si sa distance au centre vaut \(r\).
- Tangente en \(A\in(C)\) : la droite passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{\Omega A}\).
Exemple
\(x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0\Leftrightarrow(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9\) : cercle de centre \((-2 ; 1)\) et de rayon \(3\).