Durée : 1 h 30. Barème sur 20. Repère orthonormé.
Exercice 1 (8 pts)
Soient \(A(-1 ; 2)\), \(B(3 ; 4)\), \(C(1 ; -2)\).
- Calculer \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\), \(AB\) et \(AC\). (3 pts)
- En déduire \(\cos\widehat{BAC}\). (2 pts)
- Déterminer l'équation de la hauteur issue de \(A\). (3 pts)
Correction
- \(\vec{AB}(4 ; 2)\), \(\vec{AC}(2 ; -4)\) : \(8 - 8 = 0\). \(AB = AC = 2\sqrt5\).
- \(\cos\widehat{BAC} = 0\) : triangle rectangle isocèle en \(A\).
- \(\vec{BC}(-2 ; -6)\), ou \(\vec{n}(1 ; 3)\), normal à la hauteur : \((x + 1) + 3(y - 2) = 0\), soit \(x + 3y - 5 = 0\).
Exercice 2 (12 pts)
Soit \((C)\) le cercle de diamètre \([AB]\) avec \(A(1 ; 3)\) et \(B(5 ; -1)\).
- Déterminer le centre, le rayon et une équation de \((C)\). (4 pts)
- Vérifier que \(E(5 ; 3)\) appartient à \((C)\). (2 pts)
- Déterminer l'équation de la tangente à \((C)\) en \(E\). (3 pts)
- Étudier la position de la droite \((D) : x + y + 2 = 0\) par rapport à \((C)\). (3 pts)
Correction
- Centre \(\Omega(3 ; 1)\), \(r = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{32}}{2} = 2\sqrt2\). \((x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 8\).
- \(4 + 4 = 8\) ✓.
- \(\vec{\Omega E}(2 ; 2)\) : \(2(x - 5) + 2(y - 3) = 0\), soit \(x + y - 8 = 0\).
- \(d = \frac{|3 + 1 + 2|}{\sqrt2} = 3\sqrt2 > 2\sqrt2\) : la droite est extérieure au cercle.