Exercice 1
Soient \(A(1 ; -1)\), \(B(4 ; 3)\), \(C(5 ; -4)\). Montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) et calculer son aire.
Correction
\(\vec{AB}(3 ; 4)\), \(\vec{AC}(4 ; -3)\) : \(12 - 12 = 0\). \(AB = AC = 5\), aire \(= \frac{25}{2}\).
Exercice 2
Dans un triangle \(ABC\) : \(AB = 6\), \(AC = 4\), \(\widehat{A} = 120^{\circ}\). Calculer \(BC\).
Correction
\(BC^2 = 36 + 16 - 2\times24\times(-\frac12) = 76\) : \(BC = 2\sqrt{19}\).
Exercice 3
Calculer la distance du point \(A(3 ; 1)\) à la droite \((D) : 4x - 3y + 1 = 0\).
Correction
\(d = \frac{|12 - 3 + 1|}{5} = 2\).
Exercice 4
Déterminer l'équation du cercle de centre \(\Omega(2 ; -1)\) tangent à la droite \((D) : 3x + 4y + 8 = 0\).
Correction
\(r = \frac{|6 - 4 + 8|}{5} = 2\) : \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4\).
Exercice 5
Soit \((C) : x^2 + y^2 - 6x + 2y + 5 = 0\). Déterminer son centre et son rayon, puis l'équation de la tangente en \(A(4 ; 1)\).
Correction
\((x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 5\) : \(\Omega(3 ; -1)\), \(r = \sqrt5\). \(A\) : \(1 + 4 = 5\) ✓. \(\vec{\Omega A}(1 ; 2)\) normal : \((x - 4) + 2(y - 1) = 0\), soit \(x + 2y - 6 = 0\).