Exercice 1
\(AB = 9\) cm. Construire \(G\) barycentre de \((A, 2)\) et \((B, 1)\), puis \(H\) barycentre de \((A, 3)\) et \((B, -2)\).
Correction
\(\vec{AG} = \frac13\vec{AB}\) : \(AG = 3\) cm sur \([AB]\). \(\vec{AH} = \frac{-2}{1}\vec{AB} = -2\vec{AB}\) : \(H\) est sur la demi-droite opposée, à \(18\) cm de \(A\).
Exercice 2
Dans un repère, \(A(2 ; 4)\), \(B(-1 ; 1)\), \(C(5 ; -2)\). Calculer les coordonnées de l'isobarycentre \(G\) et du barycentre \(K\) de \((A, 1)\), \((B, 2)\), \((C, -1)\).
Correction
\(G(2 ; 1)\). \(K\) : poids total \(2\), \(x_K = \frac{2 - 2 - 5}{2} = -\frac52\), \(y_K = \frac{4 + 2 + 2}{2} = 4\).
Exercice 3
Soit \(ABC\) un triangle, \(I\) milieu de \([AB]\), \(G\) barycentre de \((A, 1)\), \((B, 1)\), \((C, 2)\). Montrer que \(G\) est le milieu de \([IC]\).
Correction
\(I\) est le barycentre de \((A, 1)\), \((B, 1)\). Par associativité, \(G\) est le barycentre de \((I, 2)\) et \((C, 2)\) : milieu de \([IC]\).
Exercice 4
Soit \([AB]\) un segment. Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que \(\|\vec{MA} + 3\vec{MB}\| = 8\).
Correction
Soit \(G\) le barycentre de \((A, 1)\), \((B, 3)\) : \(\vec{MA} + 3\vec{MB} = 4\vec{MG}\). Donc \(MG = 2\) : cercle de centre \(G\) et de rayon \(2\).
Exercice 5
Exprimer \(G\) comme barycentre de \(A\) et \(B\) sachant que \(\vec{AG} = -\frac12\vec{AB}\).
Correction
\(\frac{\beta}{\alpha + \beta} = -\frac12\) : on peut prendre \(\beta = -1\) et \(\alpha + \beta = 2\), soit \(\alpha = 3\). \(G\) = barycentre de \((A, 3)\) et \((B, -1)\).