Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (10 pts)
Soit \(ABC\) un triangle. On définit \(E\) barycentre de \((A, 2)\), \((B, 1)\) et \(F\) barycentre de \((A, 2)\), \((C, 1)\).
- Construire \(E\) et \(F\). (2 pts)
- Montrer que \((EF)\parallel(BC)\). (4 pts)
- Soit \(G\) le barycentre de \((A, 4)\), \((B, 1)\), \((C, 1)\). Montrer que \(G\) est le milieu de \([EF]\). (4 pts)
Correction
- \(\vec{AE} = \frac13\vec{AB}\) et \(\vec{AF} = \frac13\vec{AC}\).
- \(\vec{EF} = \vec{AF} - \vec{AE} = \frac13\vec{BC}\) : colinéaires, donc \((EF)\parallel(BC)\).
- Les poids \((A, 4), (B, 1), (C, 1)\) se regroupent en \((A, 2), (B, 1)\) et \((A, 2), (C, 1)\). Par associativité, \(G\) est le barycentre de \((E, 3)\) et \((F, 3)\) : c'est le milieu de \([EF]\).
Exercice 2 (10 pts)
Dans un repère, \(A(1 ; 0)\), \(B(3 ; 2)\), \(C(-1 ; 4)\).
- Calculer les coordonnées de \(G\), barycentre de \((A, 1)\), \((B, 1)\), \((C, 2)\). (3 pts)
- Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que \(\|\vec{MA} + \vec{MB} + 2\vec{MC}\| = 4\). (3 pts)
- Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que \(\|\vec{MA} + \vec{MB}\| = \|\vec{MA} - \vec{MB}\|\). (4 pts)
Correction
- \(x_G = \frac{1 + 3 - 2}{4} = \frac12\), \(y_G = \frac{0 + 2 + 8}{4} = \frac52\).
- \(4MG = 4\) : cercle de centre \(G\) et de rayon \(1\).
- Soit \(I\) le milieu de \([AB]\) : \(2MI = AB = 2\sqrt2\), donc \(MI = \sqrt2\). Cercle de centre \(I(2 ; 1)\) et de rayon \(\sqrt2\) (le cercle de diamètre \([AB]\)).