Exercice 1
Soit \(u_n = 3n - 2\). Montrer que \((u_n)\) est arithmétique et calculer \(u_0 + u_1 + \dots + u_{15}\).
Correction
\(u_{n+1} - u_n = 3\) : raison \(3\), \(u_0 = -2\), \(u_{15} = 43\). Somme \(= 16\times\frac{-2 + 43}{2} = 328\).
Exercice 2
Soit \((v_n)\) géométrique avec \(v_1 = 6\) et \(v_4 = 48\). Déterminer la raison, \(v_0\) et \(v_0 + \dots + v_7\).
Correction
\(q^3 = 8\), \(q = 2\), \(v_0 = 3\). Somme \(= 3\times\frac{2^8 - 1}{2 - 1} = 765\).
Exercice 3
Étudier la monotonie de \(u_n = \frac{2n + 1}{n + 2}\).
Correction
\(u_{n+1} - u_n = \frac{2n + 3}{n + 3} - \frac{2n + 1}{n + 2} = \frac{(2n + 3)(n + 2) - (2n + 1)(n + 3)}{(n + 2)(n + 3)} = \frac{3}{(n + 2)(n + 3)} > 0\) : croissante.
Exercice 4
Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + u_n}\).
- Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).
- On pose \(v_n = \frac{1}{u_n}\). Montrer que \((v_n)\) est arithmétique et en déduire \(u_n\).
Correction
- \(u_1 = \frac12\), \(u_2 = \frac13\), \(u_3 = \frac14\).
- \(v_{n+1} = \frac{1 + u_n}{u_n} = v_n + 1\) : raison \(1\), \(v_0 = 1\), \(v_n = n + 1\) et \(u_n = \frac{1}{n + 1}\).
Exercice 5
Déterminer \(x\) pour que \(x - 1\), \(x + 1\), \(2x + 5\) soient en progression géométrique.
Correction
\((x + 1)^2 = (x - 1)(2x + 5)\Leftrightarrow x^2 + 2x + 1 = 2x^2 + 3x - 5\Leftrightarrow x^2 + x - 6 = 0\) : \(x = 2\) ou \(x = -3\).