Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
\((u_n)\) est arithmétique avec \(u_0 = -3\) et \(r = 5\).
- Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\). (2 pts)
- Calculer \(u_{15}\) et la somme \(u_0 + \cdots + u_{15}\). (3 pts)
Correction
- \(u_n = -3 + 5n\).
- \(u_{15} = 72\) ; \(S = \dfrac{16\times(-3 + 72)}{2} = 552\).
Exercice 2 (5 pts)
\((v_n)\) est géométrique avec \(v_0 = 3\) et \(q = 2\).
- Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\). (2 pts)
- Calculer \(v_0 + v_1 + \cdots + v_9\). (3 pts)
Correction
- \(v_n = 3\times2^n\).
- \(S = 3\times\dfrac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 3\times1\,023 = 3\,069\).
Exercice 3 (6 pts)
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = 3u_n - 4\).
- Calculer \(u_1\) et \(u_2\). (2 pts)
- On pose \(v_n = u_n - 2\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique. (2 pts)
- En déduire \(u_n\) en fonction de \(n\). (2 pts)
Correction
- \(u_1 = 5\) et \(u_2 = 11\).
- \(v_{n+1} = 3u_n - 4 - 2 = 3(u_n - 2) = 3v_n\) : géométrique de raison \(3\), avec \(v_0 = 1\).
- \(v_n = 3^n\), donc \(u_n = 3^n + 2\).
Exercice 4 (4 pts)
\((u_n)\) est arithmétique avec \(u_2 = 7\) et \(u_9 = 35\).
- Calculer la raison. (2 pts)
- Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\). (2 pts)
Correction
- \(7r = 28\), donc \(r = 4\).
- \(u_0 = 7 - 8 = -1\), donc \(u_n = 4n - 1\).