Série 2 — suites arithmétiques et géométriques, sommes et récurrence.
Exercice 1
\((u_n)\) est arithmétique de premier terme \(u_0 = 5\) et de raison \(r = 3\).
- Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
- Calculer \(u_{20}\) puis \(S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{20}\).
Correction
- \(u_n = 5 + 3n\).
- \(u_{20} = 65\) ; \(S = \dfrac{21\times(5 + 65)}{2} = 735\).
Exercice 2
\((v_n)\) est géométrique de premier terme \(v_0 = 2\) et de raison \(q = 3\).
- Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
- Calculer \(v_0 + v_1 + \cdots + v_6\).
Correction
- \(v_n = 2\times3^n\).
- \(S = 2\times\dfrac{3^7 - 1}{3 - 1} = 3^7 - 1 = 2\,186\).
Exercice 3
Soit \(u_n = \dfrac{3n+1}{n+2}\) pour \(n\in\mathbb{N}\).
- Calculer \(u_0\), \(u_1\) et \(u_2\).
- Montrer que \((u_n)\) est croissante.
Correction
- \(u_0 = \dfrac12\), \(u_1 = \dfrac43\), \(u_2 = \dfrac74\).
- \(u_n = \dfrac{3(n+2) - 5}{n+2} = 3 - \dfrac{5}{n+2}\) ; comme \(\dfrac{5}{n+2}\) décroît, \(u_n\) croît.
Exercice 4
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 2u_n + 3\).
- Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
- On pose \(v_n = u_n + 3\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
- En déduire \(u_n\) en fonction de \(n\).
Correction
- \(u_1 = 5\), \(u_2 = 13\), \(u_3 = 29\).
- \(v_{n+1} = u_{n+1} + 3 = 2u_n + 6 = 2(u_n + 3) = 2v_n\) : géométrique de raison \(2\), avec \(v_0 = 4\).
- \(v_n = 4\times2^n\), donc \(u_n = 4\times2^n - 3 = 2^{n+2} - 3\).
Exercice 5
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n = 2^{n+2} - 3\) vérifie \(u_n \ge 1\).
Correction
Initialisation. \(u_0 = 4 - 3 = 1 \ge 1\). Hérédité. Si \(u_n \ge 1\), alors \(u_{n+1} = 2u_n + 3 \ge 2 + 3 = 5 \ge 1\). Conclusion. La propriété est vraie pour tout \(n\).
Exercice 6
Une somme de \(10\,000\) dh est placée à intérêts composés au taux annuel de \(4\,\%\).
- Exprimer le capital \(C_n\) après \(n\) années.
- Calculer \(C_{10}\) à \(1\) dh près.
Correction
- \((C_n)\) est géométrique de raison \(1{,}04\) : \(C_n = 10\,000\times1{,}04^n\).
- \(C_{10} = 10\,000\times1{,}04^{10} \approx 14\,802\) dh.
Exercice 7
\((u_n)\) est arithmétique avec \(u_3 = 11\) et \(u_8 = 31\).
- Calculer la raison puis \(u_0\).
- Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
Correction
- \(u_8 - u_3 = 5r = 20\), donc \(r = 4\) et \(u_0 = u_3 - 3r = 11 - 12 = -1\).
- \(u_n = -1 + 4n\).