Série 2 — placements, amortissements et suites auxiliaires.
Exercice 1
Un capital de \(20\,000\) dh est placé à intérêts composés au taux annuel de \(5\,\%\).
- Exprimer le capital \(C_n\) après \(n\) années.
- Calculer \(C_8\) à \(1\) dh près.
Correction
- \((C_n)\) est géométrique de raison \(1{,}05\) : \(C_n = 20\,000\times1{,}05^n\).
- \(C_8 = 20\,000\times1{,}05^8 \approx 29\,549\) dh.
Exercice 2
Un capital de \(20\,000\) dh est placé à intérêts simples au taux annuel de \(5\,\%\).
- Exprimer le capital après \(n\) années.
- Comparer avec l'exercice 1 pour \(n = 8\).
Correction
- \((C_n)\) est arithmétique de raison \(1\,000\) : \(C_n = 20\,000 + 1\,000n\).
- \(C_8 = 28\,000\) dh : les intérêts composés rapportent environ \(1\,549\) dh de plus.
Exercice 3
Une machine vaut \(80\,000\) dh et perd \(15\,\%\) de sa valeur chaque année.
- Exprimer sa valeur \(V_n\) après \(n\) années.
- Au bout de combien d'années vaudra-t-elle moins de \(30\,000\) dh ?
Correction
- \(V_n = 80\,000\times0{,}85^n\).
- \(0{,}85^n < 0{,}375\) : pour \(n = 6\), \(0{,}85^6 \approx 0{,}377\) ; pour \(n = 7\), \(\approx 0{,}321\). C'est donc à partir de la 7e année.
Exercice 4
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\,000\) et \(u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 200\).
- Déterminer le point fixe \(\ell\).
- Montrer que \(v_n = u_n - \ell\) est géométrique et en déduire \(u_n\).
Correction
- \(\ell = 0{,}9\ell + 200\) donne \(\ell = 2\,000\).
- \(v_{n+1} = 0{,}9v_n\) avec \(v_0 = -1\,000\) : \(v_n = -1\,000\times0{,}9^n\), donc \(u_n = 2\,000 - 1\,000\times0{,}9^n\).
Exercice 5
Une entreprise vend \(500\) unités la première année, puis \(80\) de plus chaque année.
- Exprimer les ventes \(u_n\) de l'année \(n\) (avec \(u_0 = 500\)).
- Calculer le total vendu sur \(10\) ans.
Correction
- \(u_n = 500 + 80n\).
- De \(u_0\) à \(u_9\) : \(10\) termes, de \(500\) à \(1\,220\) ; total \(= \dfrac{10\times1\,720}{2} = 8\,600\) unités.
Exercice 6
Soit \(u_n = \dfrac{5n+3}{n+1}\).
- Écrire \(u_n\) sous la forme \(a + \dfrac{b}{n+1}\).
- En déduire la monotonie et un majorant.
Correction
- \(u_n = 5 - \dfrac{2}{n+1}\).
- La quantité retranchée décroît : la suite croît et reste inférieure à \(5\).
Exercice 7
Un prêt de \(50\,000\) dh est remboursé par mensualités constantes de \(2\,500\) dh, avec un intérêt mensuel de \(1\,\%\) sur le capital restant. Exprimer le capital restant \(K_{n+1}\) en fonction de \(K_n\), puis déterminer le point fixe.
Correction
\(K_{n+1} = 1{,}01\,K_n - 2\,500\). Point fixe : \(\ell = 1{,}01\ell - 2\,500\) donne \(\ell = 250\,000\) ; comme \(K_0 < \ell\), la suite \(K_n - 250\,000\) est négative et géométrique de raison \(1{,}01\) : le capital décroît.