1. Principe multiplicatif
Si un choix se fait en \(p\) étapes, avec \(n_1\) possibilités pour la première, \(n_2\) pour la deuxième, etc., le nombre total de choix est \(n_1\times n_2\times\cdots\times n_p\).
On peut l'illustrer par un arbre de choix.
2. Cardinal d'une réunion
\(\text{card}(A\cup B) = \text{card}\,A + \text{card}\,B - \text{card}(A\cap B)\).
3. Les trois types de tirages
| Tirage | Ordre | Répétition | Nombre |
|---|---|---|---|
| Successif avec remise | oui | oui | \(n^p\) |
| Successif sans remise | oui | non | \(A_n^p = \frac{n!}{(n - p)!}\) |
| Simultané | non | non | \(C_n^p = \frac{n!}{p!(n - p)!}\) |
- \(n! = 1\times2\times\cdots\times n\) et \(0! = 1\).
- Nombre de façons de ranger \(n\) objets : \(n!\).
4. Propriétés des combinaisons
\[C_n^0 = C_n^n = 1 \qquad C_n^p = C_n^{n-p} \qquad C_n^{p} + C_n^{p+1} = C_{n+1}^{p+1}\]
Exemple
Choisir un comité de \(3\) personnes parmi \(10\) : \(C_{10}^3 = 120\). Élire un président, un trésorier et un secrétaire : \(A_{10}^3 = 720\).