1. Définition
La fonction logarithme décimal, notée \(\log\), est définie sur \(]0\,;+\infty[\) ; pour \(x > 0\), \(\log x\) est l'unique réel \(y\) tel que \(10^y = x\).
\[\log1 = 0 \qquad \log10 = 1 \qquad \log10^n = n\]
Exemples : \(\log1000 = 3\) ; \(\log0{,}01 = -2\).
2. Propriétés algébriques
Pour tous \(a > 0\), \(b > 0\) et \(n\in\mathbb{Z}\) :
\[\log(ab) = \log a + \log b \qquad \log\frac{a}{b} = \log a - \log b \qquad \log a^n = n\log a\]
Exemple : \(\log200 = \log2 + \log100 = \log2 + 2\approx2{,}301\).
3. Variations et signe
La fonction \(\log\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\) :
- \(\log a = \log b \Leftrightarrow a = b\) ; \(\log a < \log b \Leftrightarrow a < b\).
- \(\log x < 0\) pour \(0 < x < 1\) ; \(\log x > 0\) pour \(x > 1\).
4. Équations et inéquations
- \(10^x = 5 \Leftrightarrow x = \log5\approx0{,}699\).
- \(\log x\ge2 \Leftrightarrow x\ge100\).
5. Applications
Le logarithme décimal sert à résoudre des problèmes de croissance : un capital placé à \(5\,\%\) par an est multiplié par \(1{,}05^n\) après \(n\) ans. Pour savoir quand il double, on résout \(1{,}05^n\ge2\), soit \(n\log1{,}05\ge\log2\) : \(n\ge\frac{\log2}{\log1{,}05}\approx14{,}2\), donc au bout de \(15\) ans.