1. Limites usuelles
- En \(+\infty\) : \(x^n\to+\infty\), \(\sqrt x\to+\infty\), \(\frac{1}{x^n}\to0\).
- En \(0^+\) : \(\frac1x\to+\infty\) ; en \(0^-\) : \(\frac1x\to-\infty\).
2. Formes indéterminées
\(\infty - \infty\), \(0\times\infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac00\).
3. Règles pratiques
Un polynôme a, en \(\pm\infty\), la même limite que son terme de plus haut degré. Une fraction rationnelle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré.
- \(\frac00\) en un réel \(a\) : on factorise par \((x - a)\) et on simplifie.
- \(\frac{k}{0}\) : on étudie le signe du dénominateur pour conclure \(+\infty\) ou \(-\infty\).
4. Asymptotes
- \(\lim_{x\to a}f(x) = \pm\infty\) : asymptote verticale \(x = a\).
- \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x) = b\) : asymptote horizontale \(y = b\).
Exemple économique
Le coût moyen \(C_M(q) = \frac{C(q)}{q} = 2 + \frac{500}{q}\) tend vers \(2\) quand \(q\to+\infty\) : pour de très grandes quantités, le coût moyen s'approche de \(2\) DH.