1. Nombre dérivé
\(f'(a) = \lim_{h\to0}\frac{f(a + h) - f(a)}{h}\). La tangente au point d'abscisse \(a\) : \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).
2. Dérivées usuelles et règles
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(k\) | \(0\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) |
| \(\frac1x\) | \(-\frac{1}{x^2}\) |
| \(\sqrt x\) | \(\frac{1}{2\sqrt x}\) |
\((u + v)' = u' + v'\), \((ku)' = ku'\), \((uv)' = u'v + uv'\), \(\left(\frac uv\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).
3. Variations
Si \(f' > 0\) sur \(I\), \(f\) est strictement croissante ; si \(f' < 0\), strictement décroissante. Si \(f'\) s'annule en changeant de signe, \(f\) admet un extremum.
4. Application : coût marginal
Le coût marginal est \(C_m(q) = C'(q)\) : il approche le coût de fabrication d'une unité supplémentaire. Le bénéfice est maximal quand \(B'(q) = 0\), c'est-à-dire quand la recette marginale égale le coût marginal.
Exemple
\(C(q) = q^2 + 5q + 100\) : \(C_m(q) = 2q + 5\). Pour \(q = 10\), \(C_m = 25\) DH.