Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (8 pts)
Soit \(f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1}\) sur \(]-1 ; +\infty[\).
- Calculer \(f'(x)\). (3 pts)
- Étudier les variations de \(f\). (3 pts)
- Donner l'équation de la tangente en \(0\). (2 pts)
Correction
- \(f'(x) = \frac{2x(x + 1) - (x^2 + 3)}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} = \frac{(x - 1)(x + 3)}{(x + 1)^2}\).
- Sur \(]-1 ; 1]\) décroissante, sur \([1 ; +\infty[\) croissante ; minimum \(f(1) = 2\).
- \(f(0) = 3\), \(f'(0) = -3\) : \(y = -3x + 3\).
Exercice 2 (12 pts)
Une entreprise fabrique \(q\) articles (\(0\le q\le100\)). Le coût total est \(C(q) = q^2 + 20q + 900\) et le prix de vente unitaire est \(100\) DH.
- Exprimer le bénéfice \(B(q)\). (2 pts)
- Calculer \(B'(q)\) et dresser le tableau de variation de \(B\). (4 pts)
- Quelle production maximise le bénéfice ? Quel est ce bénéfice ? (3 pts)
- Vérifier qu'en ce point, le coût marginal est égal au prix de vente. (3 pts)
Correction
- \(B(q) = 100q - q^2 - 20q - 900 = -q^2 + 80q - 900\).
- \(B'(q) = -2q + 80\) : croissante sur \([0 ; 40]\), décroissante sur \([40 ; 100]\).
- \(q = 40\) : \(B(40) = -1600 + 3200 - 900 = 700\) DH.
- \(C'(q) = 2q + 20\) et \(C'(40) = 100\) DH, égal au prix de vente.