1. Plan d'étude
- Ensemble de définition.
- Limites aux bornes et asymptotes.
- Dérivée, signe de la dérivée, tableau de variation.
- Points particuliers (intersections avec les axes, tangentes).
- Tracé de la courbe.
2. Asymptote oblique
Si \(\lim_{x\to\pm\infty}[f(x) - (ax + b)] = 0\), la droite \(y = ax + b\) est asymptote oblique. Le signe de \(f(x) - (ax + b)\) donne la position de la courbe.
3. Résolution graphique
Le nombre de solutions de \(f(x) = k\) est le nombre de points d'intersection de \((C_f)\) avec la droite \(y = k\) ; on le lit sur le tableau de variation.
Exemple
\(f(x) = x + 1 + \frac{4}{x}\) sur \(]0 ; +\infty[\) : \(f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}\). Décroissante sur \(]0 ; 2]\), croissante sur \([2 ; +\infty[\), minimum \(f(2) = 5\). Asymptotes : \(x = 0\) et \(y = x + 1\).
4. Application : coût moyen minimal
Si \(C_M(q) = \frac{C(q)}{q}\), le coût moyen est minimal quand \(C_M'(q) = 0\) ; en ce point, coût moyen et coût marginal sont égaux.