1. Barycentre de deux points
Soient \(A\), \(B\) deux points et \(a\), \(b\) deux réels tels que \(a + b\neq0\). Il existe un unique point \(G\) tel que \(a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} = \vec0\) : c'est le barycentre des points pondérés \((A\,;a)\) et \((B\,;b)\).
On a : \(\overrightarrow{AG} = \frac{b}{a + b}\overrightarrow{AB}\).
- Si \(a = b\), \(G\) est le milieu de \([AB]\) (isobarycentre).
- \(G\) appartient à la droite \((AB)\).
Exemple : barycentre de \((A\,;1)\) et \((B\,;3)\) : \(\overrightarrow{AG} = \frac34\overrightarrow{AB}\).
2. Barycentre de trois points
Si \(a + b + c\neq0\), le barycentre \(G\) de \((A\,;a)\), \((B\,;b)\), \((C\,;c)\) vérifie \(a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} + c\overrightarrow{GC} = \vec0\) et, pour tout point \(M\) :
\[a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} + c\overrightarrow{MC} = (a + b + c)\overrightarrow{MG}\]
- Si \(a = b = c\), \(G\) est le centre de gravité du triangle.
- On ne change pas \(G\) en multipliant tous les coefficients par un même réel non nul.
3. Coordonnées
Dans un repère : \(x_G = \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a + b + c}\) et \(y_G = \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a + b + c}\).
Exemple : \(A(0\,;0)\), \(B(4\,;0)\), \(C(0\,;6)\) avec les coefficients \(1\), \(1\), \(2\) : \(G\left(\frac{4}{4}\,;\frac{12}{4}\right) = (1\,;3)\).
4. Application économique
Le barycentre correspond à une moyenne pondérée : par exemple, le prix moyen de deux lots de marchandise de prix \(p_1\) et \(p_2\) et de quantités \(q_1\) et \(q_2\) est \(\frac{q_1p_1 + q_2p_2}{q_1 + q_2}\).