Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (10 pts)
\(ABC\) est un triangle. \(G\) est le barycentre de \((A\,;1)\), \((B\,;1)\), \((C\,;2)\) et \(I\) le milieu de \([AB]\).
- Montrer que \(G\) est le barycentre de \((I\,;2)\) et \((C\,;2)\).
- En déduire que \(G\) est le milieu de \([IC]\).
Correction
- \(I\) est le barycentre de \((A\,;1)\) et \((B\,;1)\) ; par associativité, \(G\) est le barycentre de \((I\,;1 + 1) = (I\,;2)\) et \((C\,;2)\).
- Les coefficients sont égaux : \(G\) est le milieu de \([IC]\).
Exercice 2 (10 pts)
Dans un repère, \(A(2\,;1)\) et \(B(8\,;4)\).
- Calculer les coordonnées du barycentre \(G\) de \((A\,;2)\) et \((B\,;1)\).
- Vérifier que \(\overrightarrow{AG} = \frac13\overrightarrow{AB}\).
Correction
- \(x_G = \frac{4 + 8}{3} = 4\), \(y_G = \frac{2 + 4}{3} = 2\) : \(G(4\,;2)\).
- \(\overrightarrow{AG}(2\,;1)\) et \(\overrightarrow{AB}(6\,;3)\) : \(\overrightarrow{AG} = \frac13\overrightarrow{AB}\).