Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Problème (20 pts)
Soit \(f(x) = \frac{x^2 - x + 4}{x - 1}\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).
- Calculer les limites de \(f\) aux bornes de son domaine. (4 pts)
- Montrer que \(f(x) = x + \frac{4}{x - 1}\) et en déduire les asymptotes. (4 pts)
- Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variation. (6 pts)
- Étudier la position de la courbe par rapport à l'asymptote oblique. (3 pts)
- Déterminer le nombre de solutions de l'équation \(f(x) = 6\). (3 pts)
Correction
- \(\lim_{\pm\infty}f = \pm\infty\) ; numérateur \(\to4\) en \(1\) : \(\lim_{1^+}f = +\infty\), \(\lim_{1^-}f = -\infty\).
- \(x(x - 1) + 4 = x^2 - x + 4\). Asymptotes \(x = 1\) et \(y = x\).
- \(f'(x) = 1 - \frac{4}{(x - 1)^2} = \frac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 1)^2}\). Croissante sur \(]-\infty ; -1]\) et \([3 ; +\infty[\), décroissante sur \([-1 ; 1[\) et \(]1 ; 3]\). Maximum local \(f(-1) = -3\), minimum local \(f(3) = 5\).
- \(f(x) - x = \frac{4}{x - 1}\) : au-dessus pour \(x > 1\), en dessous pour \(x < 1\).
- Sur \(]1 ; +\infty[\), \(f\) descend de \(+\infty\) à \(5\) puis remonte vers \(+\infty\) : deux solutions. Sur \(]-\infty ; 1[\), \(f\le-3\) : aucune. Total : deux solutions.