Exercice 1
Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\). Dresser le tableau de variation et donner le nombre de solutions de \(f(x) = 0\).
Correction
\(f'(x) = 3x(x - 2)\). Maximum local \(f(0) = 2\), minimum local \(f(2) = -2\), limites \(\pm\infty\). La courbe coupe l'axe des abscisses trois fois : trois solutions.
Exercice 2
Soit \(g(x) = \frac{x^2 + 1}{x}\). Déterminer les asymptotes et les variations de \(g\).
Correction
\(g(x) = x + \frac1x\) : asymptotes \(x = 0\) et \(y = x\). \(g'(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}\) : croissante sur \(]-\infty ; -1]\) et \([1 ; +\infty[\), décroissante sur \([-1 ; 0[\) et \(]0 ; 1]\).
Exercice 3
Le coût total est \(C(q) = q^2 + 100\) pour \(q > 0\). Déterminer la quantité qui minimise le coût moyen.
Correction
\(C_M(q) = q + \frac{100}{q}\), \(C_M'(q) = 1 - \frac{100}{q^2}\) : minimum en \(q = 10\), \(C_M(10) = 20\) DH.