1. Ensemble de définition, image, antécédent
\(D_f\) est l'ensemble des réels \(x\) pour lesquels \(f(x)\) existe. Si \(f(a) = b\), \(b\) est l'image de \(a\) et \(a\) un antécédent de \(b\).
- Dénominateur non nul ; quantité sous une racine positive.
2. Parité
- \(f\) paire : \(f(-x) = f(x)\) (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées).
- \(f\) impaire : \(f(-x) = -f(x)\) (courbe symétrique par rapport à l'origine).
3. Variations et extremums
\(f\) est croissante sur \(I\) si \(a < b\Rightarrow f(a)\le f(b)\). On peut utiliser le taux de variation \(\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\) : positif pour une fonction croissante. \(f(a)\) est un maximum (resp. minimum) de \(f\) sur \(I\) si \(f(x)\le f(a)\) (resp. \(\ge\)) pour tout \(x\in I\).
4. Fonctions usuelles
- \(ax + b\) : droite. \(ax^2 + bx + c\) : parabole de sommet d'abscisse \(-\frac{b}{2a}\).
- \(\frac{a}{x}\) : hyperbole. \(\frac{ax + b}{cx + d}\) : hyperbole de centre \(\left(-\frac{d}{c} ; \frac{a}{c}\right)\).
- \(\sqrt{x}\) : croissante sur \([0 ; +\infty[\).
5. Application économique
Le coût total \(C(q)\), la recette \(R(q) = pq\) et le bénéfice \(B(q) = R(q) - C(q)\) sont des fonctions de la quantité \(q\). Le bénéfice est maximal au sommet de la parabole quand \(B\) est un trinôme avec \(a < 0\).
Exemple
\(B(q) = -q^2 + 40q - 300\) : maximum en \(q = 20\), \(B(20) = 100\).