1. Équations du premier degré
\(ax + b = 0\) avec \(a\neq0\) a une unique solution \(x = -\frac{b}{a}\).
Produit nul : \(A\times B = 0 \Leftrightarrow A = 0\) ou \(B = 0\).
2. Équations du second degré
Pour \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a\neq0\)), on calcule le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\).
- \(\Delta > 0\) : deux solutions \(x_1 = \frac{-b - \sqrt\Delta}{2a}\) et \(x_2 = \frac{-b + \sqrt\Delta}{2a}\) ;
- \(\Delta = 0\) : une solution double \(x_0 = -\frac{b}{2a}\) ;
- \(\Delta < 0\) : aucune solution réelle.
Exemple : \(x^2 - 5x + 6 = 0\) : \(\Delta = 1\), solutions \(2\) et \(3\).
3. Signe et inéquations
Le trinôme \(ax^2 + bx + c\) est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines et du signe contraire entre les racines (quand \(\Delta > 0\)).
Exemple : \(x^2 - 5x + 6\le0 \Leftrightarrow x\in[2\,;3]\).
4. Systèmes de deux équations
Le système \(\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}\) a une solution unique si \(\Delta = ab' - a'b\neq0\) : \(x = \frac{cb' - c'b}{\Delta}\) et \(y = \frac{ac' - a'c}{\Delta}\).
On peut aussi utiliser la substitution ou la combinaison linéaire.
5. Application économique
Un problème de recette et de coût conduit souvent à résoudre une inéquation du second degré : le bénéfice \(B(q) = R(q) - C(q)\) est positif entre les deux racines quand le coefficient de \(q^2\) est négatif.