Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (8 pts)
- Résoudre \(x^2 + 2x - 15 = 0\).
- En déduire la factorisation de \(x^2 + 2x - 15\) et le signe de ce trinôme.
- Résoudre \(\frac{x^2 + 2x - 15}{x - 1}\le0\).
Correction
- \(\Delta = 64\) : \(x = 3\) ou \(x = -5\).
- \((x - 3)(x + 5)\) ; positif sur \(]-\infty\,;-5]\cup[3\,;+\infty[\), négatif sur \([-5\,;3]\).
- Tableau de signes avec \(x - 1\) : \(S = ]-\infty\,;-5]\cup]1\,;3]\).
Exercice 2 (6 pts)
Au marché, \(2\) kg de tomates et \(3\) kg de pommes coûtent \(39\) DH ; \(5\) kg de tomates et \(1\) kg de pommes coûtent \(39\) DH. Trouver le prix d'un kg de chaque produit.
Correction
\(\begin{cases} 2t + 3p = 39 \\ 5t + p = 39 \end{cases}\) : \(p = 39 - 5t\), donc \(2t + 117 - 15t = 39\), \(13t = 78\), \(t = 6\) et \(p = 9\). Le kg de tomates coûte \(6\) DH et le kg de pommes \(9\) DH.
Exercice 3 (6 pts)
Le coût de production de \(q\) unités est \(C(q) = q^2 + 20q + 100\) et le prix de vente unitaire est \(60\) DH.
- Exprimer le bénéfice \(B(q)\).
- Pour quelles quantités l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif ?
Correction
- \(B(q) = 60q - C(q) = -q^2 + 40q - 100\).
- \(\Delta = 1600 - 400 = 1200\), racines \(20\pm10\sqrt3\), soit environ \(2{,}7\) et \(37{,}3\). \(B(q)\ge0\) pour \(q\) entre ces deux valeurs, c'est-à-dire de \(3\) à \(37\) unités.