1. Propositions
Une proposition est un énoncé mathématique qui est soit vrai, soit faux.
Exemples : « \(3 > 2\) » est vraie ; « \(5\) est pair » est fausse.
2. Connecteurs logiques
- Négation \(\overline{P}\) : vraie quand \(P\) est fausse.
- Conjonction « \(P\) et \(Q\) » : vraie seulement quand \(P\) et \(Q\) sont vraies.
- Disjonction « \(P\) ou \(Q\) » : vraie dès que l'une au moins est vraie.
- Implication \(P\Rightarrow Q\) : fausse seulement quand \(P\) est vraie et \(Q\) fausse.
- Équivalence \(P\Leftrightarrow Q\) : vraie quand \(P\) et \(Q\) ont la même valeur de vérité.
3. Quantificateurs
\(\forall\) : « pour tout » ; \(\exists\) : « il existe au moins un ».
- La négation de « \(\forall x,\ P(x)\) » est « \(\exists x,\ \overline{P(x)}\) ».
- La négation de « \(\exists x,\ P(x)\) » est « \(\forall x,\ \overline{P(x)}\) ».
Exemple : la négation de « \(\forall x\in\mathbb{R},\ x^2\ge0\) » est « \(\exists x\in\mathbb{R},\ x^2 < 0\) ».
4. Raisonnements usuels
- Contre-exemple : la proposition « \(\forall x\in\mathbb{R},\ x^2 > x\) » est fausse : pour \(x = \frac12\), \(x^2 = \frac14 < \frac12\).
- Contraposée : \(P\Rightarrow Q\) équivaut à \(\overline{Q}\Rightarrow\overline{P}\).
- Raisonnement par l'absurde : on suppose le contraire de ce qu'on veut montrer et on obtient une contradiction.