Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (8 pts)
Donner la valeur de vérité puis la négation de chaque proposition :
- \(\forall x\in\mathbb{R},\ x^2 + 4 > 0\)
- \(\exists x\in\mathbb{R},\ 2x + 1 = 0\)
- \(\forall n\in\mathbb{N},\ n\text{ est pair}\)
Correction
- Vraie ; négation : \(\exists x\in\mathbb{R},\ x^2 + 4\le0\).
- Vraie (\(x = -\frac12\)) ; négation : \(\forall x\in\mathbb{R},\ 2x + 1\neq0\).
- Fausse (\(n = 1\)) ; négation : \(\exists n\in\mathbb{N},\ n\text{ est impair}\).
Exercice 2 (6 pts)
Montrer par contraposée que, pour \(x\in\mathbb{R}\) : si \(x^2\neq9\), alors \(x\neq3\).
Correction
Contraposée : si \(x = 3\), alors \(x^2 = 9\), ce qui est vrai. Donc la proposition est vraie.
Exercice 3 (6 pts)
Montrer par un contre-exemple que « \(\forall x\in\mathbb{R},\ (x + 1)^2 = x^2 + 1\) » est fausse, puis corriger l'égalité.
Correction
Pour \(x = 1\) : \((1 + 1)^2 = 4\) et \(1^2 + 1 = 2\). L'égalité correcte est \((x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\).