Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (10 pts)
Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 5\).
- Écrire \(f(x)\) sous forme canonique. (2 pts)
- Dresser le tableau de variation de \(f\). (3 pts)
- Résoudre \(f(x) = 0\) et \(f(x) < 0\). (3 pts)
- Résoudre graphiquement \(f(x) = -4\). (2 pts)
Correction
- \((x - 3)^2 - 4\).
- Décroissante sur \(]-\infty ; 3]\), croissante sur \([3 ; +\infty[\), minimum \(-4\).
- \(x = 1\) ou \(x = 5\) ; \(f(x) < 0\) pour \(x\in]1 ; 5[\).
- \(-4\) est le minimum : une seule solution \(x = 3\).
Exercice 2 (10 pts)
Le coût de production de \(q\) objets (\(0\le q\le60\)) est \(C(q) = 0{,}5q^2 + 4q + 100\) DH, chaque objet est vendu \(34\) DH.
- Exprimer la recette \(R(q)\) et le bénéfice \(B(q)\). (3 pts)
- Pour quelles quantités l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif ? (4 pts)
- Déterminer le bénéfice maximal. (3 pts)
Correction
- \(R(q) = 34q\), \(B(q) = -0{,}5q^2 + 30q - 100\).
- \(B(q) > 0\Leftrightarrow q^2 - 60q + 200 < 0\) ; racines \(30\pm10\sqrt7\approx3{,}5\) et \(56{,}5\) : de \(4\) à \(56\) objets.
- Maximum en \(q = 30\) : \(B(30) = -450 + 900 - 100 = 350\) DH.