Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
\((u_n)\) est arithmétique avec \(u_0 = 7\) et \(r = 4\).
- Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\). (2 pts)
- Calculer \(u_{12}\) et la somme \(u_0 + \cdots + u_{12}\). (3 pts)
Correction
- \(u_n = 7 + 4n\).
- \(u_{12} = 55\) ; \(S = \dfrac{13\times(7+55)}{2} = 403\).
Exercice 2 (5 pts)
Un capital de \(15\,000\) dh est placé à \(4\,\%\) par an, intérêts composés.
- Exprimer le capital après \(n\) années. (2 pts)
- Calculer le capital après \(6\) ans, à \(1\) dh près. (3 pts)
Correction
- \(C_n = 15\,000\times1{,}04^n\).
- \(C_6 = 15\,000\times1{,}04^6 \approx 18\,980\) dh.
Exercice 3 (6 pts)
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 100\) et \(u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 60\).
- Déterminer le point fixe \(\ell\). (2 pts)
- Montrer que \(v_n = u_n - \ell\) est géométrique. (2 pts)
- En déduire \(u_n\). (2 pts)
Correction
- \(\ell = 0{,}8\ell + 60\) donne \(\ell = 300\).
- \(v_{n+1} = 0{,}8v_n\), avec \(v_0 = -200\).
- \(v_n = -200\times0{,}8^n\), donc \(u_n = 300 - 200\times0{,}8^n\).
Exercice 4 (4 pts)
Une population de \(4\,000\) habitants augmente de \(2\,\%\) par an.
- Exprimer la population après \(n\) années. (2 pts)
- Calculer la population après \(10\) ans, à l'unité près. (2 pts)
Correction
- \(P_n = 4\,000\times1{,}02^n\).
- \(P_{10} \approx 4\,876\) habitants.