Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (8 pts)
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 4\) et \(u_{n+1} = u_n - 3\).
- Quelle est la nature de \((u_n)\) ? (2 pts)
- Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) et calculer \(u_{20}\). (3 pts)
- Calculer \(S = u_0 + u_1 + \dots + u_{20}\). (3 pts)
Correction
- Arithmétique de raison \(-3\).
- \(u_n = 4 - 3n\), \(u_{20} = -56\).
- \(S = 21\times\frac{4 - 56}{2} = -546\).
Exercice 2 (12 pts)
Une entreprise produit \(2000\) unités en 2026 et prévoit une hausse de \(5\) % par an. On note \(p_n\) la production en \(2026 + n\).
- Montrer que \((p_n)\) est géométrique et exprimer \(p_n\). (4 pts)
- Calculer la production prévue en 2031 (arrondir à l'unité). (3 pts)
- Calculer la production totale de 2026 à 2031. (5 pts)
Correction
- \(p_{n+1} = 1{,}05p_n\) : raison \(1{,}05\), \(p_n = 2000\times1{,}05^n\).
- \(p_5 = 2000\times1{,}05^5\approx2553\) unités.
- \(S = 2000\times\frac{1{,}05^6 - 1}{0{,}05}\approx2000\times6{,}8019\approx13\,604\) unités.