L'essentiel en une page
Définition. La rotation de centre \(O\) et d'angle \(\alpha\) associe à \(M \ne O\) le point \(M'\) tel que \(OM' = OM\) et \(\widehat{(\vec{OM}\,;\vec{OM'})} = \alpha\). Le point \(O\) est invariant.
| Propriété | Conservée ? |
|---|---|
| Longueurs | oui |
| Angles | oui |
| Aires | oui |
| Alignement et parallélisme | oui |
| Orientation | oui (rotation directe) |
Cas particuliers : \(\alpha = \pi\) donne la symétrie centrale de centre \(O\) ; \(\alpha = 0\) ou \(2\pi\) donne l'identité.
| Composée | Résultat |
|---|---|
| Deux rotations de même centre | rotation d'angle \(\alpha + \beta\) |
| Rotation d'angle \(\frac{2\pi}{n}\) répétée \(n\) fois | l'identité |
En coordonnées (centre \(O\)) : l'angle \(\dfrac{\pi}{2}\) envoie \((x\,;y)\) sur \((-y\,;x)\) ; l'angle \(-\dfrac{\pi}{2}\) sur \((y\,;-x)\) ; l'angle \(\pi\) sur \((-x\,;-y)\).
Ce que je dois savoir faire
- Construire l'image d'un point, d'un segment, d'une figure.
- Utiliser une rotation pour démontrer une égalité de longueurs.
- Reconnaître les rotations dans un polygone régulier.
- Déterminer la nature d'une composée de rotations de même centre.
Les pièges à éviter
- La rotation dépend du sens : préciser direct ou indirect.
- Le centre est le seul point invariant (sauf pour l'identité).
- Une rotation ne conserve pas les directions des droites, sauf si \(\alpha = 0\) ou \(\pi\).
- Pour une composée, on ajoute les angles mais seulement si le centre est commun.
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Image de \((1\,;0)\) par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\) ? Nature de la rotation d'angle \(\pi\) ? Dans un hexagone régulier, quel angle envoie un sommet sur le suivant ?
Réponses
\((0\,;1)\) ; la symétrie centrale ; \(\dfrac{\pi}{3}\).