Durée : 1 heure. Barème sur 20. Les justifications sont exigées.
Exercice 1 (5 pts)
- Donner la définition de la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\alpha\). (2 pts)
- Citer trois propriétés conservées. (3 pts)
Correction
- \(R(M) = M'\) tel que \(OM' = OM\) et \(\widehat{(\vec{OM}\,;\vec{OM'})} = \alpha\).
- Les longueurs, les angles et les aires (également l'alignement et le parallélisme).
Exercice 2 (5 pts)
Déterminer l'image de chaque point par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
- \(A(2\,;0)\) (2 pts)
- \(B(-1\,;3)\) (3 pts)
Correction
La rotation envoie \((x\,;y)\) sur \((-y\,;x)\).
- \(A'(0\,;2)\).
- \(B'(-3\,;-1)\).
Exercice 3 (5 pts)
\(ABCD\) est un carré direct de centre \(O\) et \(R\) est la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
- Donner les images de \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\). (3 pts)
- En déduire l'image du triangle \(ABO\). (2 pts)
Correction
- \(A\mapsto B\), \(B\mapsto C\), \(C\mapsto D\), \(D\mapsto A\).
- \(O\) est invariant, donc l'image de \(ABO\) est le triangle \(BCO\), qui lui est isométrique.
Exercice 4 (5 pts)
\(R_1\) et \(R_2\) sont deux rotations de même centre \(O\), d'angles \(\dfrac{\pi}{4}\) et \(\dfrac{3\pi}{4}\).
- Déterminer la nature de \(R_2\circ R_1\). (3 pts)
- Déterminer la nature de \(R_1\circ R_1\). (2 pts)
Correction
- C'est la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\pi\) : la symétrie centrale de centre \(O\).
- C'est la rotation d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\).