1. Limites de référence
- \(\lim_{x\to+\infty}x^n = +\infty\) ; \(\lim_{x\to-\infty}x^n = +\infty\) si \(n\) pair, \(-\infty\) si \(n\) impair.
- \(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^n} = 0\) ; \(\lim_{x\to0^+}\frac1x = +\infty\), \(\lim_{x\to0^-}\frac1x = -\infty\).
- \(\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x} = +\infty\).
2. Opérations et formes indéterminées
Les formes indéterminées sont : \(\infty - \infty\), \(0\times\infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\) et \(\frac00\).
3. Techniques
- Polynôme en \(\pm\infty\) : limite du terme de plus haut degré.
- Fraction rationnelle en \(\pm\infty\) : limite du quotient des termes de plus haut degré.
- Forme \(\frac00\) : factoriser numérateur et dénominateur.
- Racines : multiplier par l'expression conjuguée.
- Limite infinie en un point : étudier le signe du dénominateur (limite à droite et à gauche).
Exemple
\(\lim_{x\to1^+}\frac{2x}{x - 1} = +\infty\) car \(2x\to2 > 0\) et \(x - 1\to0^+\).
4. Limites trigonométriques
\[\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x} = 1 \qquad \lim_{x\to0}\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12\]
5. Comparaison
- Si \(u(x)\le f(x)\le v(x)\) et \(u\), \(v\) tendent vers \(\ell\), alors \(f\) tend vers \(\ell\).
- Si \(f(x)\ge u(x)\) et \(u\to+\infty\), alors \(f\to+\infty\).
6. Continuité
\(f\) est continue en \(a\) si \(\lim_{x\to a}f(x) = f(a)\). Les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine.