1. Nombre dérivé et tangente
\(f'(a) = \lim_{x\to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}\) (si cette limite existe et est finie).
Tangente au point d'abscisse \(a\) : \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\). Approximation : \(f(a + h)\approx f(a) + hf'(a)\) pour \(h\) petit.
2. Tableau des dérivées
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(ax + b\) | \(a\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) |
| \(\frac1x\) | \(-\frac{1}{x^2}\) |
| \(\sqrt x\) | \(\frac{1}{2\sqrt x}\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
3. Règles de calcul
\[(u + v)' = u' + v' \qquad (ku)' = ku' \qquad (uv)' = u'v + uv'\]
\[\left(\frac1v\right)' = -\frac{v'}{v^2} \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \qquad (\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}\]
4. Sens de variation
Si \(f' > 0\) sur un intervalle \(I\) (sauf en des points isolés), \(f\) est strictement croissante sur \(I\). Si \(f' < 0\), strictement décroissante.
- Si \(f'\) s'annule et change de signe en \(a\), \(f\) admet un extremum en \(a\).
- En un extremum intérieur, la tangente est horizontale.
Exemple
\(f(x) = 2x^3 - 6x + 1\) : \(f'(x) = 6x^2 - 6 = 6(x - 1)(x + 1)\). Maximum local \(f(-1) = 5\), minimum local \(f(1) = -3\).