1. Démarche
- Domaine de définition et éventuelle parité.
- Limites aux bornes, asymptotes.
- Dérivée, signe, tableau de variation.
- Points particuliers : intersections avec les axes, tangentes.
- Tracé.
2. Asymptotes
- Verticale \(x = a\) si \(\lim_{x\to a}f(x) = \pm\infty\).
- Horizontale \(y = b\) si \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x) = b\).
- Oblique \(y = ax + b\) si \(\lim_{x\to\pm\infty}[f(x) - (ax + b)] = 0\).
Pour une fraction \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) avec \(\deg P = \deg Q + 1\), on effectue la division pour écrire \(f(x) = ax + b + \frac{R(x)}{Q(x)}\).
3. Position relative
Le signe de \(f(x) - (ax + b)\) indique si la courbe est au-dessus ou en dessous de l'asymptote.
4. Point d'inflexion
Si \(f''\) s'annule en changeant de signe en \(a\), la courbe traverse sa tangente au point \((a ; f(a))\) : c'est un point d'inflexion.
5. Exemple complet
\(f(x) = \frac{x^2 - 3}{x - 2} = x + 2 + \frac{1}{x - 2}\).
- \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{2\}\) ; asymptote verticale \(x = 2\) ; asymptote oblique \(y = x + 2\).
- \(f'(x) = 1 - \frac{1}{(x - 2)^2} = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 2)^2}\).
- Croissante sur \(]-\infty ; 1]\) et \([3 ; +\infty[\), décroissante sur \([1 ; 2[\) et \(]2 ; 3]\).
- Maximum local \(f(1) = 2\), minimum local \(f(3) = 6\).
- Courbe au-dessus de l'asymptote pour \(x > 2\), en dessous pour \(x < 2\).