Exercice 1
Soit \(f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}\). Déterminer les asymptotes de \((C_f)\) et les variations de \(f\).
Correction
Asymptotes \(x = 3\) et \(y = 2\). \(f'(x) = \frac{2(x - 3) - (2x + 1)}{(x - 3)^2} = \frac{-7}{(x - 3)^2} < 0\) : décroissante sur chaque intervalle.
Exercice 2
Soit \(g(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}\). Écrire \(g(x) = ax + b + \frac{c}{x + 1}\) et déterminer l'asymptote oblique.
Correction
\(x^2 + x + 1 = x(x + 1) + 1\) : \(g(x) = x + \frac{1}{x + 1}\). Asymptote oblique \(y = x\).
Exercice 3
Soit \(h(x) = x^3 - 3x\). Montrer que \(h\) est impaire, étudier ses variations et déterminer son point d'inflexion.
Correction
\(h(-x) = -h(x)\). \(h'(x) = 3(x^2 - 1)\) : croissante sur \(]-\infty ; -1]\) et \([1 ; +\infty[\), décroissante sur \([-1 ; 1]\). \(h''(x) = 6x\) change de signe en \(0\) : point d'inflexion \(O\).
Exercice 4
Déterminer le nombre de solutions de l'équation \(x^3 - 3x = 1\) à l'aide des variations de \(h\) (exercice 3).
Correction
\(h(-1) = 2\), \(h(1) = -2\). La droite \(y = 1\) coupe la courbe une fois sur \(]-\infty ; -1[\), une fois sur \(]-1 ; 1[\) et une fois sur \(]1 ; +\infty[\) : trois solutions.