Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Problème (20 pts)
Soit \(f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}\).
- Déterminer \(D_f\) et calculer les limites aux bornes. (4 pts)
- Montrer que \(f(x) = x - 1 + \frac{1}{x - 1}\). En déduire les asymptotes de \((C_f)\). (3 pts)
- Étudier la position de \((C_f)\) par rapport à l'asymptote oblique. (2 pts)
- Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variation de \(f\). (5 pts)
- Montrer que \(\Omega(1 ; 0)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\). (3 pts)
- Résoudre \(f(x) = 3\). (3 pts)
Correction
- \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{1\}\). \(\lim_{\pm\infty} = \pm\infty\). Numérateur \(\to1\) en \(1\) : \(\lim_{1^+} = +\infty\), \(\lim_{1^-} = -\infty\).
- \((x - 1)^2 + 1 = x^2 - 2x + 2\). Asymptotes \(x = 1\) et \(y = x - 1\).
- \(f(x) - (x - 1) = \frac{1}{x - 1}\) : au-dessus pour \(x > 1\), en dessous pour \(x < 1\).
- \(f'(x) = 1 - \frac{1}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}\). Croissante sur \(]-\infty ; 0]\) et \([2 ; +\infty[\), décroissante sur \([0 ; 1[\) et \(]1 ; 2]\). Maximum local \(f(0) = -2\), minimum local \(f(2) = 2\).
- \(f(2 - x) = 1 - x + \frac{1}{1 - x} = -f(x)\), donc \(f(2 - x) + f(x) = 0 = 2\times0\).
- \(x^2 - 2x + 2 = 3x - 3\Leftrightarrow x^2 - 5x + 5 = 0\) : \(x = \frac{5\pm\sqrt5}{2}\).