1. Vecteurs de l'espace
Les règles du plan restent valables : relation de Chasles, colinéarité, milieu.
\(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) sont coplanaires si l'un s'écrit comme combinaison linéaire des deux autres.
2. Repère et coordonnées
Dans un repère \((O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) :
- \(\vec{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)\).
- \(\vec{u}(x ; y ; z)\) et \(\vec{v}(x' ; y' ; z')\) sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles.
- En repère orthonormé : \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\).
3. Déterminant et coplanarité
\[\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = x\begin{vmatrix} y' & y'' \\ z' & z'' \end{vmatrix} - x'\begin{vmatrix} y & y'' \\ z & z'' \end{vmatrix} + x''\begin{vmatrix} y & y' \\ z & z' \end{vmatrix}\]
\(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) coplanaires \(\Leftrightarrow\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 0\).
4. Droite et plan
- Droite passant par \(A\) dirigée par \(\vec{u}(a ; b ; c)\) : \(x = x_A + at\), \(y = y_A + bt\), \(z = z_A + ct\).
- Plan passant par \(A\) dirigé par \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) : équation cartésienne \(ax + by + cz + d = 0\), obtenue par \(\det(\vec{AM}, \vec{u}, \vec{v}) = 0\).
5. Intersection droite / plan
On remplace \(x\), \(y\), \(z\) de la représentation paramétrique dans l'équation du plan et on résout en \(t\) : une solution (point d'intersection), aucune (droite parallèle) ou une infinité (droite contenue dans le plan).