Exercice 1
Soient \(A(1 ; 2 ; -1)\) et \(B(3 ; 0 ; 1)\). Calculer \(\vec{AB}\), \(AB\) et les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).
Correction
\(\vec{AB}(2 ; -2 ; 2)\), \(AB = \sqrt{12} = 2\sqrt3\), \(I(2 ; 1 ; 0)\).
Exercice 2
Les vecteurs \(\vec{u}(1 ; 2 ; 0)\), \(\vec{v}(0 ; 1 ; 1)\), \(\vec{w}(2 ; 5 ; 1)\) sont-ils coplanaires ?
Correction
\(\det = 1(1\times1 - 5\times1) - 0 + 2(2\times1 - 1\times0) = -4 + 4 = 0\) : coplanaires (en effet \(\vec{w} = 2\vec{u} + \vec{v}\)).
Exercice 3
Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par \(A(0 ; 1 ; 2)\) et parallèle à \(\vec{u}(1 ; -1 ; 3)\), puis vérifier si \(B(2 ; -1 ; 8)\) lui appartient.
Correction
\(x = t\), \(y = 1 - t\), \(z = 2 + 3t\). Pour \(B\) : \(t = 2\), \(y = -1\) ✓, \(z = 8\) ✓. Oui.
Exercice 4
Déterminer l'équation cartésienne du plan passant par \(A(1 ; 0 ; 0)\), \(B(0 ; 2 ; 0)\), \(C(0 ; 0 ; 3)\).
Correction
On cherche \(ax + by + cz = d\) : \(a = d\), \(2b = d\), \(3c = d\). Avec \(d = 6\) : \(6x + 3y + 2z - 6 = 0\).