Géométrie dans l'espace — Examen (1 h 30) — 1ère année Bac Sciences Expérimentales

Durée : 1 h 30. Barème sur 20.

On donne \(A(2 ; 0 ; 1)\), \(B(1 ; 1 ; 0)\), \(C(0 ; 1 ; 2)\) et \(D(3 ; 1 ; 3)\).

Calculer \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) et montrer que \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés. (4 pts)
Calculer \(\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})\). Les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont-ils coplanaires ? (5 pts)
Déterminer une équation cartésienne du plan \((ABC)\). (5 pts)
Déterminer l'intersection du plan \((ABC)\) et de la droite passant par \(O\) dirigée par \(\vec{k}(0 ; 0 ; 1)\). (6 pts)

Correction

\(\vec{AB}(-1 ; 1 ; -1)\), \(\vec{AC}(-2 ; 1 ; 1)\) : coordonnées non proportionnelles.
\(\vec{AD}(1 ; 1 ; 2)\). \(\det = -1(1\times2 - 1\times1) - (-2)(1\times2 - 1\times(-1)) + 1(1\times1 - 1\times(-1)) = -1 + 6 + 2 = 7\neq0\) : non coplanaires.
\(\det(\vec{AM}, \vec{AB}, \vec{AC})\) avec \(\vec{AM}(x - 2 ; y ; z - 1)\) : \((x - 2)(1\times1 - 1\times(-1)) - (-1)(y\times1 - (z - 1)\times1) + (-2)(y\times(-1) - (z - 1)\times1)\). On obtient \(2(x - 2) + (y - z + 1) + 2(y + z - 1) = 0\), soit \(2x + 3y + z - 5 = 0\). Vérification : \(A\) : \(4 + 0 + 1 - 5 = 0\) ; \(B\) : \(2 + 3 + 0 - 5 = 0\) ; \(C\) : \(0 + 3 + 2 - 5 = 0\).
Droite : \(x = 0\), \(y = 0\), \(z = t\). Dans le plan : \(t - 5 = 0\). Point \((0 ; 0 ; 5)\).