Exercice 1
En utilisant la définition, calculer le nombre dérivé de \(f(x) = x^2 - 3x\) en \(a = 2\).
Correction
\(\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2} = x - 1\to1\). Donc \(f'(2) = 1\).
Exercice 2
Calculer les dérivées :
- \(f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x\)
- \(g(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}\)
- \(h(x) = (x^2 + 1)\sqrt{x}\)
- \(k(x) = \cos(3x) + \sin^2 x\)
Correction
- \(12x^3 - 4x + 5\).
- \(\frac{3(x + 2) - (3x - 1)}{(x + 2)^2} = \frac{7}{(x + 2)^2}\).
- \(2x\sqrt x + \frac{x^2 + 1}{2\sqrt x} = \frac{5x^2 + 1}{2\sqrt x}\).
- \(-3\sin 3x + 2\sin x\cos x = -3\sin 3x + \sin 2x\).
Exercice 3
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \(f(x) = x^3 - 2x\) au point d'abscisse \(1\).
Correction
\(f(1) = -1\), \(f'(x) = 3x^2 - 2\), \(f'(1) = 1\) : \(y = x - 2\).
Exercice 4
Étudier les variations de \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) et de \(g(x) = \frac{x}{x^2 + 1}\).
Correction
\(f'(x) = 2x - 4\) : décroissante sur \(]-\infty ; 2]\), croissante sur \([2 ; +\infty[\). \(g'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}\) : décroissante sur \(]-\infty ; -1]\), croissante sur \([-1 ; 1]\), décroissante sur \([1 ; +\infty[\).
Exercice 5
Déterminer les points de la courbe de \(f(x) = x^3 - 3x^2\) où la tangente est horizontale.
Correction
\(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0\) : points \((0 ; 0)\) et \((2 ; -4)\).