Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Soit \(f(x) = \sqrt{x + 3}\).
- Calculer \(\lim_{x\to1}\frac{f(x) - 2}{x - 1}\) et interpréter. (3 pts)
- Donner l'équation de la tangente en \(x = 1\) et une valeur approchée de \(\sqrt{4{,}1}\). (3 pts)
Correction
- \(\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} = \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2}\to\frac14\) : \(f\) est dérivable en \(1\), \(f'(1) = \frac14\).
- \(y = \frac14(x - 1) + 2 = \frac14x + \frac74\). \(\sqrt{4{,}1} = f(1{,}1)\approx2 + 0{,}1\times\frac14 = 2{,}025\).
Exercice 2 (14 pts)
Soit \(g(x) = x^3 - 3x^2 + 4\).
- Calculer \(g'(x)\) et dresser le tableau de variation de \(g\) (avec les limites). (5 pts)
- Déterminer les extremums de \(g\). (2 pts)
- Vérifier que \(g(-1) = 0\) et factoriser \(g(x)\). (3 pts)
- En déduire le signe de \(g(x)\). (2 pts)
- Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse \(1\). (2 pts)
Correction
- \(g'(x) = 3x(x - 2)\). Croissante sur \(]-\infty ; 0]\) et \([2 ; +\infty[\), décroissante sur \([0 ; 2]\). \(\lim_{-\infty} = -\infty\), \(\lim_{+\infty} = +\infty\).
- Maximum local \(g(0) = 4\), minimum local \(g(2) = 0\).
- \(g(-1) = -1 - 3 + 4 = 0\) ; \(g(x) = (x + 1)(x^2 - 4x + 4) = (x + 1)(x - 2)^2\).
- \(g(x)\ge0\) pour \(x\ge-1\) et \(g(x) < 0\) pour \(x < -1\) (\(g(2) = 0\)).
- \(g(1) = 2\), \(g'(1) = -3\) : \(y = -3x + 5\).