Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (12 pts)
Calculer :
- \(\lim_{x\to+\infty}(x^2 - 5x + 3)\) (1 pt)
- \(\lim_{x\to-\infty}\frac{2x^2 + x}{3 - x^2}\) (2 pts)
- \(\lim_{x\to2}\frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2}\) (2 pts)
- \(\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x})\) (3 pts)
- \(\lim_{x\to0}\frac{x\sin x}{1 - \cos x}\) (2 pts)
- \(\lim_{x\to1^-}\frac{x + 2}{x^2 - 1}\) (2 pts)
Correction
- \(+\infty\).
- \(-2\).
- \(\frac{(x - 1)(x - 2)}{x - 2} = x - 1\to1\).
- \(\frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt x}\to0\).
- \(\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{x^2}{1 - \cos x}\to1\times2 = 2\).
- Numérateur \(\to3\) ; pour \(x\to1^-\) (avec \(x > 0\)), \(x^2 - 1\to0^-\) : \(-\infty\).
Exercice 2 (8 pts)
Soit \(f(x) = \frac{x^2 + x - 6}{x - 2}\) pour \(x\neq2\) et \(f(2) = a\).
- Simplifier \(f(x)\) pour \(x\neq2\). (2 pts)
- Déterminer \(a\) pour que \(f\) soit continue en \(2\). (2 pts)
- Calculer \(\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\). (2 pts)
- Montrer que \(\lim_{x\to+\infty}\frac{2 + \cos x}{x} = 0\). (2 pts)
Correction
- \(\frac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} = x + 3\).
- \(a = 5\).
- \(\frac{x + 3}{x}\to1\).
- \(\frac1x\le\frac{2 + \cos x}{x}\le\frac3x\) pour \(x > 0\) : par encadrement, limite \(0\).