1. Angles orientés (rappel)
Le plan est orienté. Pour deux vecteurs non nuls \(\vec u\) et \(\vec v\), une mesure de l'angle orienté \((\vec u, \vec v)\) est définie à \(2\pi\) près.
2. Définition de la rotation
Soient \(\Omega\) un point et \(\theta\) un réel. La rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta\) est la transformation qui laisse \(\Omega\) fixe et associe à tout point \(M\neq\Omega\) le point \(M'\) tel que :
\[\Omega M' = \Omega M \quad\text{et}\quad (\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'})\equiv\theta\ [2\pi]\]
Figure — M' image de M par la rotation de centre Ω et d'angle θ
Cas particuliers
- \(\theta\equiv0\ [2\pi]\) : la rotation est l'identité.
- \(\theta\equiv\pi\ [2\pi]\) : c'est la symétrie centrale de centre \(\Omega\).
3. Propriétés
Si \(r(A) = A'\) et \(r(B) = B'\), alors \(A'B' = AB\) et \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A'B'})\equiv\theta\ [2\pi]\).
Une rotation conserve les distances, les angles orientés, l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité et le milieu.
4. Images de figures
- L'image d'une droite est une droite ; l'image d'un segment est un segment de même longueur.
- L'image du cercle de centre \(I\) et de rayon \(R\) est le cercle de centre \(r(I)\) et de même rayon \(R\).
5. Rotation et triangle équilatéral
Le triangle \(ABC\) est équilatéral direct si et seulement si \(C\) est l'image de \(B\) par la rotation de centre \(A\) et d'angle \(\frac{\pi}{3}\).
De même, le triangle \(ABC\) est rectangle isocèle direct en \(A\) si et seulement si \(C = r(B)\) où \(r\) est la rotation de centre \(A\) et d'angle \(\frac{\pi}{2}\).