Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (8 pts)
\(ABC\) est un triangle équilatéral direct et \(r\) la rotation de centre \(A\) et d'angle \(\frac\pi3\).
- Déterminer \(r(B)\).
- Soit \(D\) l'image de \(C\) par \(r\). Montrer que le triangle \(ACD\) est équilatéral.
- Calculer une mesure de l'angle \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})\), puis en déduire que \(B\), \(A\), \(D\) ne sont pas alignés.
Correction
- \(AB = AC\) et \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\equiv\frac\pi3\) : \(r(B) = C\).
- \(AD = AC\) et \((\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})\equiv\frac\pi3\) : \(ACD\) est équilatéral.
- \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) + (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})\equiv\frac{2\pi}{3}\ [2\pi]\) ; cette mesure n'est ni \(0\) ni \(\pi\), donc \(B\), \(A\), \(D\) ne sont pas alignés.
Exercice 2 (12 pts)
\(ABCD\) est un carré direct de centre \(O\), \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([BC]\). Soit \(r\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\frac\pi2\).
- Déterminer \(r(A)\) et \(r(B)\).
- Montrer que \(r(I) = J\).
- En déduire que le triangle \(OIJ\) est rectangle isocèle en \(O\).
- Déterminer l'image de la droite \((AB)\) par \(r\).
Correction
- \(r(A) = B\) et \(r(B) = C\).
- La rotation conserve le milieu : \(r(I)\) est le milieu de \([r(A)r(B)] = [BC]\), c'est \(J\).
- \(OJ = OI\) et \((\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})\equiv\frac\pi2\) : \(OIJ\) est rectangle isocèle en \(O\).
- L'image de \((AB)\) est la droite passant par \(r(A) = B\) et \(r(B) = C\) : c'est \((BC)\).