Exercice 1
\(ABCD\) est un carré direct de centre \(O\). On note \(r\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\frac\pi2\). Déterminer \(r(A)\), \(r(B)\), \(r(C)\), \(r(D)\), puis l'image du segment \([AC]\).
Correction
\(OA = OB\) et \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})\equiv\frac\pi2\) : \(r(A) = B\) ; de même \(r(B) = C\), \(r(C) = D\), \(r(D) = A\). L'image de \([AC]\) est \([BD]\).
Exercice 2
\(ABC\) est un triangle équilatéral direct de centre \(G\). Déterminer l'angle de la rotation de centre \(G\) qui transforme \(A\) en \(B\). Quelle est l'image de \(B\) par cette rotation ?
Correction
\(GA = GB = GC\) et \((\overrightarrow{GA}, \overrightarrow{GB})\equiv\frac{2\pi}{3}\) : l'angle est \(\frac{2\pi}{3}\). L'image de \(B\) est \(C\).
Exercice 3
\(OAB\) est un triangle rectangle isocèle direct en \(O\), \(I\) le milieu de \([AB]\). Soit \(r\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\frac\pi2\).
- Déterminer \(r(A)\).
- On pose \(J = r(I)\). Montrer que \(OI = OJ\) et que \((OI)\perp(OJ)\).
Correction
- \(OA = OB\) et \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})\equiv\frac\pi2\) : \(r(A) = B\).
- Par définition, \(OJ = OI\) et \((\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})\equiv\frac\pi2\), donc \((OI)\perp(OJ)\).
Exercice 4
\(ABC\) est un triangle. À l'extérieur, on construit les carrés \(ABDE\) et \(ACFG\) (directs de sorte que \(E\) soit l'image de \(B\) et \(G\) celle de \(C\) par des rotations de centre \(A\)). En utilisant la rotation \(r\) de centre \(A\) et d'angle \(\frac\pi2\) qui envoie \(E\) sur \(B\) et \(C\) sur \(G\), montrer que \(EC = BG\) et \((EC)\perp(BG)\).
Correction
\(r(E) = B\) et \(r(C) = G\) : \(r\) transforme le segment \([EC]\) en \([BG]\). Donc \(BG = EC\) et \((\overrightarrow{EC}, \overrightarrow{BG})\equiv\frac\pi2\) : les droites sont perpendiculaires.
Exercice 5
Le cercle \((C)\) a pour centre \(I\) et pour rayon \(3\). Soit \(r\) une rotation de centre \(\Omega\) avec \(\Omega I = 5\) et d'angle \(\frac\pi3\). Déterminer l'image de \((C)\) et la distance entre \(I\) et le centre de l'image.
Correction
L'image est le cercle de centre \(I' = r(I)\) et de rayon \(3\). Le triangle \(\Omega II'\) est isocèle en \(\Omega\) avec un angle de \(\frac\pi3\) : il est équilatéral, donc \(II' = 5\).