Série 2 — images, compositions et constructions.
Exercice 1
Rappeler la définition de la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\alpha\), puis préciser ce qu'elle conserve.
Correction
\(R(M) = M'\) avec \(OM' = OM\) et \(\widehat{(\vec{OM}\,;\vec{OM'})} = \alpha\) ; \(O\) est invariant. Elle conserve les longueurs, les angles (orientés), les aires, l'alignement et le parallélisme : c'est une isométrie.
Exercice 2
Dans un repère, déterminer l'image de \(A(3\,;0)\) par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
Correction
La rotation d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\) de centre \(O\) envoie \((x\,;y)\) sur \((-y\,;x)\) : \(A'(0\,;3)\).
Exercice 3
\(ABC\) est un triangle équilatéral direct de centre \(O\). Déterminer l'image de \(A\) par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{2\pi}{3}\).
Correction
Les sommets se déduisent les uns des autres par une rotation d'angle \(\dfrac{2\pi}{3}\) : l'image de \(A\) est \(B\).
Exercice 4
\(ABCD\) est un carré direct de centre \(O\). Quelle est l'image du segment \([AB]\) par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\) ?
Correction
\(A\mapsto B\) et \(B\mapsto C\), donc \([AB]\mapsto[BC]\) : le segment conserve sa longueur.
Exercice 5
Quelle est la nature de la composée de deux rotations de même centre \(O\), d'angles \(\alpha\) et \(\beta\) ?
Correction
C'est la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\alpha + \beta\). Si \(\alpha + \beta = 2k\pi\), c'est l'identité.
Exercice 6
\(R\) est la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{3}\). Quelle est la nature de \(R\circ R\circ R\) ?
Correction
C'est la rotation d'angle \(\pi\), c'est-à-dire la symétrie centrale de centre \(O\).
Exercice 7
\(ABC\) est un triangle. On construit à l'extérieur les triangles équilatéraux \(ABD\) et \(ACE\). Montrer que \(BE = CD\).
Correction
La rotation de centre \(A\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{3}\) (bien orientée) envoie \(D\) sur \(B\) et \(C\) sur \(E\). Une rotation conserve les distances, donc \(DC = BE\).